服務(wù)熱線：橢圓形封頭的扭轉(zhuǎn)變形形式解析
2016年10月26日
滄州五森管道有限公司
橢圓形封頭的扭轉(zhuǎn)變形是由大小相等、方面相反、作用面垂直于管子軸線的兩個(gè)力矩引起的管子變形形式。其變形 點(diǎn)表現(xiàn)為管道元件的任意兩個(gè)橫載面繞管子的中心軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，見圖6-3所示：
圖6-3 管子的扭轉(zhuǎn)變形
根據(jù)圣維南原理可知，在橢圓形封頭的任一截面上的內(nèi)力（矩）Mn是均勻分布的，且根據(jù)力的平衡法則可知，Mn =M。
Mn也是一個(gè)矢量，且規(guī)定：按右手螺旋法則，當(dāng)矢量方向與截面的外法線方向一致時(shí)，Mn為正，反之為負(fù)。
對(duì)于橢圓形封頭的扭轉(zhuǎn)變形，其應(yīng)力在管子各橫截面上的分布已不再是均勻的。從圖6-4中可以看出，距軸線中心O越近，變形量越小。
圖6-4所示的為一從受扭轉(zhuǎn)變形的管子上截取的微元，微元沿軸線長度為dx。在扭轉(zhuǎn)力矩的作用下，位于半徑Ri上的a點(diǎn)因發(fā)生微小錯(cuò)動(dòng)到達(dá)a’點(diǎn)，此時(shí)也相當(dāng)于oa’線相對(duì)于oa線轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)dj角度。那么由其幾何關(guān)系可知：aa’=Ri dj。而ba線發(fā)生的角度改
變（即剪應(yīng)變）¡i應(yīng)為：
…………………（a） 圖6－4 扭轉(zhuǎn)變形微元
式(a)即為橢圓形封頭扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的幾何方程。由公式可以看出，橫截面上任意點(diǎn)的剪應(yīng)變與該點(diǎn)到管子軸中心線的距離成正比，而到軸中心線距離相同的點(diǎn)（即在同一園周上的點(diǎn)），其剪應(yīng)變相同。
由虎克定律知道，在半徑Ri上任意點(diǎn)的剪應(yīng)力τi=G.ri，將(a)式代入可得：
…………………………………………………………（b）
式(b)即為橢圓形封頭扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的物理方程。由式中可以看出，橫截面上任意點(diǎn)的剪力與該點(diǎn)到管中心的距離成正比，且同一園周上的應(yīng)力相等。由此也可以看出，此時(shí)的剪應(yīng)力在管子橫截面上已非均勻分布。
式(b)中由于有dj/dx這一未知條件，故仍無法計(jì)算剪應(yīng)力，此時(shí)須借助于靜力平衡方程。
圖6-5表示了橢圓形封頭某一橫截面上的內(nèi)力微元，微元的寬度為dRi，周長為2πRi，面積為dAi=2πRi.dRi。
由于dRi 小，可認(rèn)為在微元中的剪應(yīng)力是均勻分布的，即此時(shí)面積dAi上的剪力為：
Ni=τidAi
扭矩為：
Mi=NiRI＝τiRI dAi
對(duì)整個(gè)管道橫截面積積分可得：
…………………（c）
將式（b）代入式（c）可得：
圖6-5 扭轉(zhuǎn)變形內(nèi)力微元
在該積分方程中，只有Ri是變量，故可將常量移出積分外。設(shè)，代入上式可以得到橢圓形封頭：
………………………………（d）
將式(b)代入式(d)可得：
對(duì)上式進(jìn)行公式變換得：
……………………………………………………………（e）
由式(e)可以看出，當(dāng)Ri=D/2時(shí)，τi ，即 剪應(yīng)力發(fā)生在橢圓形封頭橫截面的 外園上，此時(shí)有：
設(shè)并代入上式可得：
………………………………………………………………(6-3)
式6-3即為橢圓形封頭受扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)的強(qiáng)度校核公式。同樣，通過式子變換可以進(jìn)行管子受扭轉(zhuǎn)載荷時(shí)的截面參數(shù)計(jì)算和確定許可扭轉(zhuǎn)載荷。
通常將Jp叫做管道元件的扭轉(zhuǎn)慣性矩，將Wn叫做管道元件的抗扭截面模量。通過Jp和Wn的定義式很容易求出圖6-5所示管子的表達(dá)式：
同樣，一般很難查到橢圓形封頭用材料的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力[τ]。試驗(yàn)證明，扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力[τ]與拉伸許用應(yīng)力[σ]存在如下近似關(guān)系：
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